\magnification 1200
\font\lb=cmbx10 scaled \magstep2

{\lb Влияние пространственного лвижения пульсара на
временные характеристики Геминги.}
\vskip 0.5cm
Г.С. Бисноватый-Коган${}^*$ и К.А.Поcтнов${}^{\dag}$
\vskip 0.5cm
${}^*$ Институт Космических Исследовани РАН, Профсоюзная ул. 84/32,
117810 Москва, Россия
\vskip 0.5cm
${}^{\dag}$ Государственный Астрономический институт им. П.К.Штернберга,
Университетский пр-т, 13, 119899 Москва, Россия
\vskip 1cm

\noindent {\bf
Показатель торможения пульсаров $n$ является безразмерной величиной,
характеризующий темп потери вращательной энергии замагниченной
нейтронной звезды, наблюдаемой как пульсар. Его определяют из анализа
времени прихода импульсов, и для удаленных пульсаров его значение
близко к $n=3$ -- теоретическому значению, предсказываемому
большинством современных механизмов излучения пульсаров.
Однако недавние измерения временных характеристик гамма-пульсара
Геминги, находящегося  от Солнца на расстоянии ближе 100 пк,
и особенно наблюдаемая вторая производная частоты вращения
пульсара -- свидетельствуют о необычно большом показателе торможения
порядка $10-30$. Для объяснения этого неожиданного результата
рассматривается влияние пространственного движения пульсара на
его временные характеристики.
Оказывается, что одно только изменение периода вращения пульсара
из-за обычного Допплер-эффекта могло бы имитировать столь высокое
значение показателя торможения, если бы пульсар был очень близко или
имел необычно высокую скорость пространственного движения более
1000 км/с. Наиболее же вероятной причиной большого показателя торможения
являются неточные координаты этого гамма-пульсара, что может быть
частично или полностью связано с его собственным движением.
Пренебрежение к поправкам координат источника может очень сильно
влиять на наблюдаемые высшие производные периода пульсара и тем
самым вести к ошибочному значению $n$. Для получения надежных
оценок расстояния до Геминги требуется самосогласованный анализ
тайминга пульсара, учитывающий как влияние собственного движения,
так и Допплер-эффекта.}


Гамма-источник Геминга (=2CG 195+04)
в созвездии Близнецов был случайно обнаружен
в 1973 г. с борта ИСЗ SAS-2 при наблюдении находящегося рядом
известного пульсара в Крабовидной туманности в диапазоне энергий
фотонов $>50$ ~МэВ, так как угловое разрешение телескопов для
таких энергий в те годы было около 30 минут дуги. Источник был
настолько ярким (вторым после гамма-пульсара в Парусах),
что тут же последовали попытки его отождествления с каким-нибудь
объектом в другой области электромагнитного спектра. Но ровно
ничего найдено не было, и итальянский астрофизик Дж. Биньями
назвал этот источник ``Geminga'', что с одной стороны указывало
на его местоположение в созвездии Бдизнецов (лат. Gemini), а
с другой стороны в переводе с миланского диалекта означало
``ничто, пустота''.

Дальнейшая история исследования Геминги вкратце
развивалась так. В конце 70-х годов с борта рентгеновского ИСЗ
``Einstein'' было обнаружено слабое рентгеновское излучение
из области Геминги (источник 1Е 0630-178), причем отношение
рентгеновского потока к гамма было $F_x/F_\gamma \sim 10^{-3}$.
По отсутствию большого поглощения в спектре
в мягком рентгеновском диапазоне был сделан вывод, что источник
находится на расстоянии ближе 100 ~пк. В 1983 г. группой под руководством
Биньями в боксе ошибок рентгеновского источника было найдено
несколько слабых звезд $\sim 25$ звездной величины -- возможных
оптических кандидатов Геминги. Для наиболее подходящей звезды отношение
оптического потока к рентгеновскому $F_v/F_x \simeq 1800$.
Попытки найти радиоизлучение из области Геминги так и не увенчались
успехом.

Сразу после открытия Геминги предпринимались попытки
исследовать временную переменность гамма-излучения. По
результатам наблюдений со спутника COS-B (1975-1982) нашли
было 160-минутный период, но он не подтвердился в дальнейшем.
Из анализа рентгеновских и гамма-наблюдений выводили и короткий
период в 59 секунд, который также не был подтвержден.
Эти периодами оказались артифактами, что было связано с очень
малым количеством зарегистрированных гамма-квантов ($\sim 1500$
$\gamma-$фотонов и около 1000 рентгеновских фотонов), поэтому
определить периодичность с хорошей точностью было очень трудно.

Новая эра исследования Геминги началась с запуском специализированного
рентгеновского спутника ROSAT в 1991 г. Наблюдая в мягком рентегнвском
диапазоне (как и обсерватория ``Einstein''), ROSAT имел более
высокую чувствительность и временное разрешение, и обнаружил
периодическое изменение рентгеновского потока источника
1Е 0630-178 с периодом $Р=0.237$ ~c.
Теперь можно было свернуть времена прихода гамма-квантов, зарегистрированных COS-B
с известным периодом, и действительно, тот же период 0.237 с
был тотчас же обнаружен. Более того, десятилетний разрыв между
наблюдениями COS-B и ROSATa позволил обнаружить изменение
этого периода с темпом $dP/dt \approx 1.1\times 10^{-14}$ ~с/c.
Этот результат сразу же показал, что Геминга является
вращающейся нейтронной звездой, теряющей энергию вращения, как и обычный
радиопульсар, за счет потерь на магнитодипольное излучение или
эжекцию релятивистских частиц с темпом $dE/dt \approx 3.2\times
10^{34}$ ~эрг/c. Стандартная оценка показала, что магнитное
поле нейтронной звезды должно быть порядка $1.5\times 10^{12}$ ~Гс,
а характерный возраст этого пульсара $t={1\over 2} P/\dot P \simeq 3.7
\times 10^5$ ~лет. Эти величины типичны для многих радиопульсаров,
и то, что мы не наблюдаем никакого радиоизлучения от Геминги попросту
может быть связано с направленностью в другую сторону конуса, в
котором распространяется радиоизлучение. Может быть, для какой-нибудь
другой далекой цивилизации Геминга представляется обычным радиопульсаром
с мощным гамма-излучением ...

Таким образом, отпали все сомнения в том, что Геминга
является близким гамма-пульсаром, очень похожим по своим характеристикам
на пульсар в Парусах. И все-таки одно странное свойство Геминги
заставило еще раз внимательно проанализировать результаты
наблюдений. Но сначала напомним, что такое показатель торможения
пульсара.

Это безразмерное число, которое характеризует зависимость
скорости потери вращательной энергии нейтронной от частоты вращения
пульсара $f$ (или угловой частоты, $\Omega=2\pi\times f$).
Потери энергии из-за магнитодипольного излучения или из-за
ветра релятивистских частиц споверхности нейтронной звезды, который
индуцирется мощными электрическими полями, возникающими в области
полярных шапок пульсара, описываются законом
$\dot E \sim B^2 \Omega^4$, где $В$ -- напряженность магнитного поля
у поверхности. Так как $E\sim\Omega^2$, то $\dot\Omega\sim\Omega^3$,
откуда ${\ddot\Omega\over{\dot\Omega}}=3{{\dot\Omega}\over\Omega}$
и мы приходим к стандартному значению показателя торможения,
${{\ddot\Omega\Omega}\over{\dot\Omega}^2}=3$.

Observations show that the value of the
braking index for well investigated pulsars
is less than 3~(Ref.2). These pulsars are rather distant and
their space motion does not affect significantly their braking indexes.

У хорошо изученных пульсаров (Краб и др.), этот показатель порядка
$2.5-2.7$. Эти пульсары расположены на расстояниях в несколько
килопарсек и поэтому их пространственное движение не влияет
на показатель торможения. Как показали недавние
рентгеновские наблюдения ROSATa, а также наблюдения,
проведенные с борта гамма-обсерватории им. Комптона (CGRO)
прибором EGRET, временные характеристики Геминги (частота
прихода импульсов $f$ и ее первая и вторая производные
$f_1$ и $f_2$ равны
$f_0 \simeq 4.2178~{\rm Гц}$,
$f_1 \simeq -1.952 \times 10^{-13} {\rm Гц/с}$
$f_2 = (2.8 \pm 1.6) \times 10^{-25} {\rm Гц/с^2}$ (отклонения 1-$\sigma$).
Их комбинация приводит к очень большому показателю торможения  $n\sim 10-30$.
Заметим, что для получения канонического значения
$n=3$ значение второй производной частоты $f_2$ должно быть
на порядок меньше
$f_2^*= 3 f_1^2/f_0 \simeq 2.7\times 10^{-26}{\rm Гц/с^2}$.

Чтобы понять полученный результат, обратимся к возможным
кинематическим эффектам, связанным с движением пульсара
в пространстве и влияющим на наблюдаемые временные характеристики
пульсара.
Таких эффектов два: во-первых, это хорошо известный Допплер-эффект,
а второй эффект возникает, когда координаты источника определены
с плохой точностью или при анализе времени прихода импульсов
используются координаты, измеренные в прошлом, а
о собственное движение источника неизвестно.
При анализе тайминга пульсаров используется стандартная
процедура приведения времени прихода импульсов от пульсара
к барицентру Солнечной системы. Очевидно, это совершенно
необходимо для вычитания эффектов, связанных с движением
Земли по орбите вокруг Солнца. Ясно, что если источник достаточно
близкий и имеет заметное собственное движение по небу, то
использование ``старых'' координат в этой процедуре может
привести к ошибкам в значениях $f_0$, $f_1$ и особенно в $f_2$.

Начнем с более подробного рассмотрения Допплер-эффекта.
Пусть пульсар имеет собственную частоту вращения
$\hat f$  и движется по отношению к Земле со скоростью
$v$ на расстоянии $l$ под углом $\theta$ к лучу зрения в
системе отсчета наблюдателя.
Тогда в линейном приближении наблюдаемая частота вращения
пульсара $f$ будет
$$
        f=\hat f (1 + {v \over c} \cos \theta)\,,\eqno{(1)}
$$
где $c$ -- скорость света
Разлагая $\hat f(t)$ и $f(t)$ в ряд до второго порядка
$\hat f = \hat f_0 + \hat f_1 t + {1\over 2}\hat f_2\,t^2$
и дифференцируя по времени $t$, получаем
$$\eqalignno{
       &f_0 = \hat f_0 (1 + {v\over c} \,\cos \theta)\,,        &(2a)\cr
       &f_1 = \hat f_1 (1 + {v\over c} \,\cos \theta)
             - \hat f_0 {{v^2}\over {cl}}\,\sin^2 \theta\,,     &(2b)\cr
       &f_2 = \hat f_2 (1 + {v\over c} \,\cos \theta)
    - 2\hat f_1 {{v^2}\over {cl}}\, \sin^2 \theta
    - 3\hat f_0 {{v^3}\over {cl^2}}\,\sin^2\theta \cos\theta\,. &(2c)
  \cr}
$$
Заметим, что для характерных для пульсаров значений $v/c\sim 10^{-3}$
множитель $(1 + {v\over c})$ изменяет значения  частоты и ее производных
в третьем знаке после запятой, поэтому в дальнейшем мы положим его равным единице.
Наблюдаемое значение первой производной $f_1$ всегда уменьшается
из-за движения (независимо от угла!), даже если
частота вращения пульсара постоянна -- факт, впервые отмеченный
Шкловским в 1969 г. Вторая производная $f_2$ уменьшается, если источник
приближается, и увеличивается для удаляющегося источника
($\cos\theta < 0$).
Звуковой аналог этого эффекта хорошо известен всем в повседневной жизни:
сирена скорой помощи (или милицейской машины) имеет более высокое звучание,
когда машина приближается, и более низкое, когда удаляется.
Поскольку собственная частота сирены постоянна (т.е. $\hat f_1=\hat f_2=0$),
вне зависимости от того, приближается машина или удаляется
слышимая частота всегда уменьшается (первая производная), но
скорость этого уменьшения (вторая производная) имеет разные знаки,
проходя через ноль в момент, когда скорость источника перпендикулярна
лучу зрения.

Для типичного значения $v/c \sim 10^{-3}$ (т.е. для
скоростей пульсаров порядка $300$~km/s) и характерных параметров
Геминги второй член в уравнении (2с) много меньше третьего, но оба они
делают наблюдаемое значение $f_2$ больше истинного.

Следовательно, из-за эффекта Допплера наблюдаемый показатель
торможения пульсара будет равен
$$
n=\hat n\,{{1+{2\over \hat n}\left({{2\tau_d v}\over l}\right)
\left({v\over c}\right)\sin^2\theta
- {3\over \hat n}\left({{2\tau_d v}\over l}\right)^2\,
\left({v\over c}\right)\sin^2\theta\,\cos\theta}
\over{\bigl[ 1+\left({{2\tau_d v}\over l}\right)
\left({v\over c}\right)\sin^2\theta \bigr]^2}}\;,\eqno{(3)}
$$
где $\tau_d \equiv -{1\over 2}{f_0\over f_1}$ -- динамический
возраст пульсара. Если собственные значения
$\hat f_1$ и $\hat f_2$ настолько малы, что ими можно пренебречь
(это не относится к Геминге) и
в выражении (2b) остается только второй член, а в выражении
(2c) -- только третий, то наблюдаемый показатель торможения в принципе
может стать очень большим  $n\simeq-3(c/v)\,\cos\theta\,\sin^{-2}\theta$.

На рис.1 показано, как $n$ зависит от расстояния до движущегося от наблюдателя
со скоростью 300 км/с пульсара с характерным динамическим возрастом
Геминги $\tau_d=3.6\times 10^5$ лет.

С другой стороны, приняв для Геминги
каноническое значение показателя торможения
$\hat n=3$ и используя наблюдаемые величины $f_i$,
выражение (3) может быть истолковано как уравнение, из которого
можно получить ограничения на скорость движения пульсара $v$
и расстояние $l$ до него. На рис. 2а показаны скорости пульсара
в зависимости от расстояния,
которые бы давали $n=11$ и $n=5,5$, соответствующие
значениям $f_2$ на нижнем пределе соответственно в 1 и 1.5-$\sigma$.
График построен для углов $\cos\theta=-0.6$, при котором Допплер-эффект
ммаксимально влияет на показатель торможения, и
$\cos\theta=-0.95$ (пульсар удаляется практически по лучу зрения).
Пунктирными и сплошными линиями обозначены скорости, полученные
для значения $f_2=0.5\times 10^{-25} {\rm Гц/с^2}
\approx 2f_2^*$
и для значения $f_2=1.0\times 10^{-25} {\rm Гц/с^2}$, близкого
к наблюдаемому нижнему пределу.
Из этого рисунка видно, что при расстояниях до Геминги порядка 40 pc
в обоих случаях требуется чрезвычайно высокая пространственная скорость
пульсара $>1000$ ~км/с. Такие большие значения не получаются в
рамках стандартного предположения, что нейтронная звезда получает
большую пространственную скорость в результате разрыва
двойной системы в момент взрыва второго массивного компонента
как Сверхновой звезды. Правда, можно предположить, что
коллапс звезды происходит неизотропно и при этом рождающаяся
нейтронная звезда получает большой импульс. В настоящее
время рассматриваются некоторые механизмы такой анизотропии,
в частности связанные с огромным магнитным полем и нейтринным
излучением, однако до конца они не разработаны.
Недавно были открыты два пульсара, движущиеся
со скоростями $v>1000$ ~км/с: PSR 1757-24
и PSR 2224+65. Если количество быстрых пульсаров
будет увеличиваться, проблема выяснения механизма
их образования станет очень актуальной.

Прямой наблюдательной проверкой высокой
скорости пульсара было бы измерение большого собственного движения
пульсара со скоростью $\mu = 2''/{\rm yr}
\times (10 {\rm пк}/l)(v/100{\rm км/с})\,\sin\theta$.
Скорости собственного движения Геминги, соответствующие
рис. 2а, приведены на рис. 2б.

Некоторые ограничения на собственное движение Геминги
можно получить по рентгеновским данным.  Бокс ошибок
положения рентгеновского источника по данным
наблюдений с борта ИСЗ Einstein прибором HRI (High
Resolution Imager -- панорамный приемник с высоким разрешением)
в 1981 г. составляет $3''.2$. Эти координаты использовались
в процедуре приведения времени прихода импульсов к барицентру.
Оптическая звезда $25^{m}$ величины $G''$, которая,
как полагают, может быть оптическим образом Геминги,
лежит внутри бокса ошибок ${}^9$ for barycentric correction lies within {\it Einstein} error
box~${}^{18,19}$.
 During {\it ROSAT} observations~${}^6$ in 1991
photons have been gathered from inside a $1'.5$~-circle, which
implies an upper limit of $\sim 0'.15/{\rm yr}$ for the proper motion.

Finding of the proper motion
of faint stars inside the X-ray error box could be
a strong evidence for their association with Geminga.
The search for proper motion of the optical star $G''$
have recently been done by Bignami
et al${}^{20,21}$ in the optical band. Evidence for the proper
motion $0.2''/{\rm yr}$ has been obtained, which is
much smaller than the present estimate.
While the optical identification of  Geminga still remains
questionable, we show below that even such relatively small motion
could be sufficient for obtaining smaller $f_2$ and realistic braking index
after removing errors in barycenter corrections.
Note, that in the deep optical exposure of
Geminga in 1984 (Ref.18) the optical counterpart could
be missed if Geminga proper motion exceeds $1''$~/year and it comes out
of the X-ray error box in 3 years.
Independent search for proper motion of  Geminga could be made in
the X-ray band by {\it ROSAT}
High Resolution Imager telescope.
The direct measurement of the X-ray position with an accuracy
of several arcseconds would be especially desirable.

The errors in Geminga coordinates caused by the pulsar proper
motion influence the obtained from timing analysis
values of $f_0$, $f_1$ and
especially of $f_2$ and $n$. Taking of different coordinates
for barycentric correction (position of {\it Einstein} HRI circle
and $G''$ star) has shown${}^10$ large sensitivity of $f_2$ on
the coordinates used. Estimate this effect by a simplified procedure
of the barycentric correction with account for the motion of the Earth
around the Sun only${}^1$. This yields an
approximate formula for the error $\Delta\ddot P_e$ in measuring of the
second derivative of the pulsar period $P$
due to the pulsar location
error $\Delta\lambda$ in the form

$$\Delta \ddot P_e \approx -{P R \omega^3 \over c} \Delta \lambda
\cos (\lambda-\omega t)   \eqno (4) $$

\noindent
Here $R=1$ a.u., $\omega = {2 \pi \over 1 year} \ll {1 \over P}$.
(This formula was obtained in collaboration with
S.Repin. Detailed investigation of different effects, connected
with barycentric corrections, will be considered elsewhere.)
The values of the errors $\Delta \ddot P_e $ as well as
$\Delta P_e$ and $\Delta \dot P_e$
vary with time, and the values of $P$, $\dot P$ and $\ddot P$ obtained
by using averaging of long observational data,
will depend on the duration of the observations.
It is possible only to make a conclusion, that the most probable proper value
of $\hat f_2$, leading to $\hat n=3$, is considerably less than the value
$$
 \Delta f_{2e}={R \omega^3 \over Pc} \Delta \lambda \simeq
8 \cdot 10^{-23} (\Delta \lambda)_{arcsec}\,.  \eqno (5)
$$
\noindent
So the obtained in ${}^{11}$ abnormally large values of $f_2$ is nevertheless
much smaller than the upper limit of $\Delta f_{2e}$ for the coordinate
error $\Delta \lambda = 1$~arcsec and in principle the
account of the proper motion
measured in ${}^{19,20}$ could improve the situation with the braking index.
Note that the value in (5) is of order of the upper limit for $f_2$
obtained from the {\it EGRET} observations ${}^{10}$, where much shorter
observational time was used.

The real correction $\Delta f_{2e}$ depends on the observational interval $T$
and for continuous observations and constant error $\Delta\lambda$
drops exponentially when $T \gg 1$ year. When the proper motion
is important and $\Delta\lambda = \Delta\lambda (t)$ even long-term
continuous observations will not be able to
smear out the error $\Delta f_{2e}$. The formula (5)
shows that the barycentric correction overwhelms the Doppler one
(third term in the expression (2c))
even for small errors in the pulsar location of $1$~arcsec.
The maximum possible
influence by the motion of the {\it CGRO} satellite
around the Earth in presence of
the location error $\Delta \lambda $ could be even higher,
$\Delta f_{2s} \sim (v_a/c) (\omega^2_a / P) \Delta \lambda \gg
\Delta f_{2e}$
(here $\omega_a$ is the angular
frequency of the apparatus rotation around the Earth,
$\omega_a \gg \omega$, and $v_a$ is the satellite speed on the orbit).
However, the exponential cutting due to time averaging is much
stronger here, so the apparatus rotation correction is probably averaged out.
The numerical analysis must be done for checking these semiquantitative
estimations.

We conclude that a self-consistent procedure
of barycentric correction with accounting for the pulsar proper motion
will give reasonable values of $n$, $f_2$, $v$, and will
permit to obtain more reliable estimations for the distance to
Geminga.


\vskip 3mm

{\it Acknowledgements.} We thank anonymous referee for valuable notes.
One of us (G.S.B.-K.) is grateful to Prof. G.F.Bignami for
attracting his attention to unusualy high value of $n$ and $f_2$
of Geminga.

\vfill
\eject

{\bf References}
\vskip 3mm
\noindent \leftskip 4mm \parindent -4mm

1. Manchester, R.N., Taylor, J.H. Pulsars. Freeman, San Francisco, California, (1977).

2. Manchester, R.N., Durdin, J.M. \& Newton, L.M.
                {\it Nature} {\bf 313}, 374-376 (1985).

3. Pacini, F. {\it Nature} {\bf 216}, 567 (1967).

4. Gunn, J.E., \& Ostriker, J.P. {\it Nature} {\bf 221}, 454-455 (1969).

5. Goldreich, P. \& Julian W.H. {\it Astrophys. J.} {\bf 157}, 869-875 (1969).

6. Halpern, J.P., \& Holt, S.S. {\it Nature \/} {\bf 357}, 222-223 (1992).

7. Bertsch, D.L. et al. {\it Nature \/} {\bf 357}, 306-307 (1992).

8. Bignami, F.G., \& Caraveo, P.A. {\it Nature} {\bf 357}, 287 (1992).

9. Mattox, J.R. et al. {\it IAU  Circ.\/} 5583 (1992).

10. Mayer-Hasselwander, H.A. et al {\it IAU Circ.\/} 5649 (1992).

11. Hermsen, W. et al.  {\it IAU  Circ.\/} 5541 (1992).

12. Shklovskij, I.S. {\it Astron. Zhurn.\/} {\bf 46}, 715-719 (1969).

13. Bisnovatyj-Kogan, G.S. \& Moiseenko, S.G. {\it Astron. Zhurn.} {\bf 69},
563-571 (1992).

14. Bisnovatyj-Kogan, G.S. {\it Astron. Astrophys.Transactions} {\bf 4},
                                               ....          (1993).

15. Frail, D.A. \& Kulkarni, S.R. {\it Nature}, {\bf 352}, 785-787 (1991).

16. Harrison, P.A., Lyne, A.G. \& Anderson, B. In {\it Proc. NATO-ARW,
"X-ray Binaries and Formation of Binary and Millisecond Pulsars"},
Eds. E.Van den Heuvel and S.Rappaport, Kluwer, 1991.

17. Cordes, J.M., Romani, R.W. \& Lundgren, S.C. {\it preprint}, December 1992.

18. Bignami, G.F. et al. {\it Astrophys. J.} {\bf 319}, 358-364 (1987).

19. Halpern, J.P. \& Tytler, D. {\it Astrophys. J.} {\bf 330}, 201-220 (1988).

20. Bignami, G.F., Caraveo, P.A., \& Mereghetti, S. {\it IAU Circ.\/} 5651 (1992).

21. Bignami, G.F. et al. {\it Nature} {\bf 361}, 704-707 (1993).

\vfill
\eject
{\bf Figure captions}
\vskip 3mm

Fig.1. Apparent braking index $n$ of Geminga as a function
of distance to the Earth $l$ for pulsar space velocity $300$~km/s
and different angles $\theta$.

Fig.2a. Geminga space velocity $v$ vs. $l$ for
different angles $\theta$ and values
of the apparent second derivative of the pulsar frequency $f_2$,
assuming canonical value of 3 for Geminga braking index.

Fig.2b. Expected Geminga proper motion $\mu$ (in arcsec/yr) for
the velocities from Fig.2a.

\bye
