Лекция 5.

§5.1. Распространение света. Красное смещение.

Рассмотрим фотон частоты , испускаемый в точке с координатой на фоне расширяющейся Вселенной. Пусть приемник расположен в точке с координатой (напомним, что в расширяющейся Вселенной , поэтому расстояние между 2 точками с постоянными координатами изменяется со временем ). Пользуясь нерелятивистским эфф. Допплера (т.е. рассматривая не слишком удаленные точки, что на самом деле оказывается несущественным), находим

Устремляя получаем дифференциальное уравнение

и учитывая выражение постоянной Хаббла через масштабный фактор и интегрируя получаем

Аналогично, энергия , температура , импульс частиц , длины волн (в т.ч. де Бройлевская длина волны) . Наглядная аналогия - замкнутая Вселенная, рассматриваемая как резонатор. Если есть стоячая волна с n узлами, при расширении число узлов сохраняется n=const ===> .

§5.2. Горизонт.

На больших расстояниях необходимо учитывать эфекты кривизны пространства -времени. Поправки за кривизну порядка

где - гравитационный радиус области с радиусом r.

Поставим вопрос: с каких расстояний можно в принципе принимать информацию в расширяющейся Вселенной? ГОРИЗОНТ событий во Вселенной определяется как поверхность сферы, образованной совокупностью частиц, испустивших свет в момент времени t=0, который принимается наблюдателем в момент времени T. Уравнение распространения света ds=0 в метрике Робертсона-Уокера принимает вид (угловые переменные )

и уравнение горизонта

(знак минус т.к. луч распространяется от периферии к центру).

Пример: Плоский мир, , пылевая стадия, P=0, , ===> ; радиационно-доминированная стадия , ===>

Во фридмановской космологии , а , и рано или поздно любая точка в расширяющейся Вселенной оказывается под горизонтом.

Подчеркнем, что наблюдаемой величиной является красное смещение z. Масштабный фактор связан с z как . Связь времени распространения света с расстояний, соответствующих красному смещению z, осуществляется по формуле:

Зависимость времени от красного смещения т.о. сильно нелинейная.

ПРИМЕР: в плоской Вселенной , z=0. ==> t=0, а , т.е. объекты с красным смещением 3 образовались 7/8 (Хаббловское время) тому назад.

§5.3. Угловое и фотометрическое расстояние.

В евклидовой геометрии определим угловое расстояние как расстояние, определяемое по видимому угловому размеру объекта : , где D - собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения. Пусть свет был испущен в момент времени (это время задается условием, что свет принимается сегодня, т.е. при , z=0), а координата объекта была (NB: координата объекта НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ в ходе расширения!). Из элемента метрики находим , и т.о. . Отметим, что вблизи горизонта , , , , т.е. угол , под которым виден удаляющийся объект конечных размеров проходит через минимум (наглядная аналогия - в замкнутом мире с топологией поверхности сферы).

Можно определить расстояние до объекта и по-другому: пусть объект имеет постоянную собственную светимость L, а принимаемый поток излучения от него F. Положим по определению фотометрическое расстояние до объекта

В расширяющейся Вселенной

откуда

Обратите внимание, что на горизонте , но теперь ! В отличие от углового расстояния, фотометрическое расстояние монотонно растет с красным смещением. §5.4 Горячая Вселенная

Решение Фридмана дает при (напомним, что на ранних стадиях независимо от наличия давления и значения !). Рассмотрение состояния материи при высоких плотностях должно удовлетворять требованиям:

1. Остаются в силе основные физические принципы: сохранение барионного и лептонного числа, эл. заряда, I и II начала термодинамики.

2. Скорость установления равновесия скорости расширения ===> расширение происходит адиабатически, TdS=0, энтропия не изменяется.

3. Состояние равновесия определяется энтропией и др. сохраняющимися величинами и НЕ ЗАВИСИТ от путей перехода к равновесию.

Идея горячей Вселенной - в работах Алфера, Бете и Гамова (1948), рассмотревших состояние вещества, при котором . Их идея состояла в получении через ядерные реакции наблюдаемый химический состав. Предсказали наличие реликтового микроволнового излучения с K, оставшегося от эпохи, когда горячее вещество (плазма) было непрозрачно для излучения и вещество находилось в состоянии термодинамического равновесия с излучением.

В расширяющейся Вселенной температура падает как , а плотность вещества ===> отношение в ходе расширения. Но это как раз и есть энтропия на 1 барион: (a - постоянная излучения).

Рассмотрим состояние из нуклонов, фотонов, нейтрино, антинейтрино, электронов, позитронов ( можно рассматривать как релят. частицы при ), причем . Тогда давление , , плотность энергии излучения , а плотность энергии релятивистских частиц запишем как , где - число сортов частиц - >1. Отсюда , или в числах

 

Это основная формула тепловой истории ранней Вселенной. Можно обратить эту формулу: время до достижения температуры T после начала расширения

Последняя формула годится до K (при более высоких температурах число сортов частиц точно неизвестно).

ПРИМЕР. Рассмотрим электроны и позитроны в момент t=1 c, когда температура равнялась (см (2)) МэВ. Плотность частиц определим из условия , где 4kT есть средняя энергия релятивистской частицы в термодинамическом равновесии с температурой T. Имеем: частиц в куб. см, т.о. примем . Сечение взаимодействия электронов и позитронов грубо есть , где см - комптоновская длина волны электрона, . Скорость релятивистских частиц порядка скорости света, , и характерное время взаимодействия

Это означает, что реакция с большим запасом обеспечивает равновесие электронов, позитронов и фотонов в момент t=1 c. Вообще, равновесие процесса с сечением при концентрации частиц n на фоне расширения с характерным временем требует . Когда в ходе расширения , частицы становятся свободными, невзаимодействующими. Так, для нейтрино c, и реликтовый нейтринный ``фон'' имеет в настоящее время температуру около 2 градусов.

§5.5. Первичный нуклеосинтез (первые три минуты)

При темпераутрах T>1 МэВ ядра существовать не могли, т.к. они эффективно разрушались при столкновениях с фотонами, электронами и позитронами. Имелись лишь протоны и нейтроны. По мере расширения Вселенной и снижения температуры ( ) концентрация нейтронов снижалась в соответствии с распределением Больцмана в расновесном газе:

где разность масс покоя нейтрона и протона МэВ. Равновесие поддерживалось реакциями слабого взаимодействия. Если бы термодинамическое расновесие поддерживалось по мере остывания и дальше, то очевидно, концентрация нейтронов экспоненциально стремилась бы к нулю, и ни о каком нуклеосинтезе не было бы и речи. Однако остывание приводит к нарушению равновесия при такой температуре ( МэВ), что отношение концентраций протонов и нейтронов ``застывает'' (англ. ``freezing'') на значении 0.19. Нейтроны соединяются с протонами с образованием ядер дейтерия , а энергии фотонов уже не хватает для разрушения образовавшихся ядер. Происходит накопление ядер и идут дальнейшие реакции:

Дальше реакции не идут, т.к. в природе нет устойчивых хим. элементов с атомным номером 5, а концентрация ядер He еще слишком низка, чтобы могли эффективно идти реакции , . Эпоха первичного нуклеосинтеза завершается к моменту с.

Таким образом, хим. состав дозвездного вещества предсказывается: , , , , . Эти цифры хорошо согласуются с новейшими определениями химсостава вещества на больших красных смещениях (см. Рис.)

Замечательно, что наблюдения первичного химсостава (особенно - первичного дейтерия по УФ-линии A, т.к. он наиболее чувствителен к потности: чем больше плотность, тем быстрее дейтерий вступает в дальнейшие реакции и тем самым тем меньше его относительное содержание; в звездах дейтерий быстро превращается в более тяжелые элементы) налагают независимые ограничения на плотность барионного вещества во Вселенной:

(даже с учетом неопределенности в современном значении постоянной Хаббла). Наблюдения светящегося вещества в галактиках дает оценку Отсюда вывод: во Вселенной должно существовать невидимое барионное вещество, масса которого возможно в десятки раз превышает массу светящегося (т.е. испускающего свет) вещества. Из независимых соображений (рост возмущений, формирование крупномасштабной структуры Вселенной) делают вывод о необходимости пристуствия еще и небарионной скрытой массы (см. ниже, отдельный параграф).

• About this document ...