next up previous
Next: About this document

Лекция 5.

§5.1. Распространение света. Красное смещение.

Рассмотрим фотон частоты tex2html_wrap_inline103 , испускаемый в точке с координатой tex2html_wrap_inline105 на фоне расширяющейся Вселенной. Пусть приемник расположен в точке с координатой tex2html_wrap_inline107 (напомним, что в расширяющейся Вселенной tex2html_wrap_inline109 , поэтому расстояние между 2 точками с постоянными координатами изменяется со временем tex2html_wrap_inline111 ). Пользуясь нерелятивистским эфф. Допплера (т.е. рассматривая не слишком удаленные точки, что на самом деле оказывается несущественным), находим

displaymath113

Устремляя tex2html_wrap_inline115 получаем дифференциальное уравнение

displaymath117

и учитывая выражение постоянной Хаббла через масштабный фактор tex2html_wrap_inline119 и интегрируя получаем

displaymath121

Аналогично, энергия tex2html_wrap_inline123 , температура tex2html_wrap_inline125 , импульс частиц tex2html_wrap_inline127 , длины волн (в т.ч. де Бройлевская длина волны) tex2html_wrap_inline129 . Наглядная аналогия - замкнутая Вселенная, рассматриваемая как резонатор. Если есть стоячая волна с n узлами, при расширении число узлов сохраняется n=const ===> tex2html_wrap_inline135 .

§5.2. Горизонт.

На больших расстояниях необходимо учитывать эфекты кривизны пространства -времени. Поправки за кривизну порядка

displaymath137

где tex2html_wrap_inline139 - гравитационный радиус области с радиусом r.

Поставим вопрос: с каких расстояний можно в принципе принимать информацию в расширяющейся Вселенной? ГОРИЗОНТ событий во Вселенной определяется как поверхность сферы, образованной совокупностью частиц, испустивших свет в момент времени t=0, который принимается наблюдателем в момент времени T. Уравнение распространения света ds=0 в метрике Робертсона-Уокера принимает вид (угловые переменные tex2html_wrap_inline149 )

displaymath151

и уравнение горизонта

displaymath153

(знак минус т.к. луч распространяется от периферии к центру).

Пример: Плоский мир, tex2html_wrap_inline155 , пылевая стадия, P=0, tex2html_wrap_inline159 , ===> tex2html_wrap_inline161 ; радиационно-доминированная стадия tex2html_wrap_inline163 , tex2html_wrap_inline165 ===> tex2html_wrap_inline167

Во фридмановской космологии tex2html_wrap_inline169 , а tex2html_wrap_inline171 , и рано или поздно любая точка в расширяющейся Вселенной оказывается под горизонтом.

Подчеркнем, что наблюдаемой величиной является красное смещение z. Масштабный фактор связан с z как tex2html_wrap_inline177 . Связь времени распространения света с расстояний, соответствующих красному смещению z, осуществляется по формуле:

displaymath181

Зависимость времени от красного смещения т.о. сильно нелинейная.

ПРИМЕР: в плоской Вселенной tex2html_wrap_inline155 , z=0. ==> t=0, а tex2html_wrap_inline187 , т.е. объекты с красным смещением 3 образовались 7/8 (Хаббловское время) тому назад.

§5.3. Угловое и фотометрическое расстояние.

В евклидовой геометрии определим угловое расстояние как расстояние, определяемое по видимому угловому размеру объекта tex2html_wrap_inline189 : tex2html_wrap_inline191 , где D - собственный размер объекта перпендикулярно к лучу зрения. Пусть свет был испущен в момент времени tex2html_wrap_inline195 (это время задается условием, что свет принимается сегодня, т.е. при tex2html_wrap_inline197 , z=0), а координата объекта была tex2html_wrap_inline105 (NB: координата объекта НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ в ходе расширения!). Из элемента метрики находим tex2html_wrap_inline203 , и т.о. tex2html_wrap_inline205 . Отметим, что вблизи горизонта tex2html_wrap_inline207 , tex2html_wrap_inline209 , tex2html_wrap_inline211 , tex2html_wrap_inline213 , т.е. угол tex2html_wrap_inline189 , под которым виден удаляющийся объект конечных размеров проходит через минимум (наглядная аналогия - в замкнутом мире с топологией поверхности сферы).

Можно определить расстояние до объекта и по-другому: пусть объект имеет постоянную собственную светимость L, а принимаемый поток излучения от него F. Положим по определению фотометрическое расстояние до объекта

displaymath221

В расширяющейся Вселенной

displaymath223

откуда

equation89

Обратите внимание, что на горизонте tex2html_wrap_inline209 , но теперь tex2html_wrap_inline227 ! В отличие от углового расстояния, фотометрическое расстояние монотонно растет с красным смещением. §5.4 Горячая Вселенная

Решение Фридмана дает tex2html_wrap_inline229 при tex2html_wrap_inline231 (напомним, что на ранних стадиях tex2html_wrap_inline233 независимо от наличия давления и значения tex2html_wrap_inline235 !). Рассмотрение состояния материи при высоких плотностях должно удовлетворять требованиям:

1. Остаются в силе основные физические принципы: сохранение барионного и лептонного числа, эл. заряда, I и II начала термодинамики.

2. Скорость установления равновесия tex2html_wrap_inline237 скорости расширения ===> расширение происходит адиабатически, TdS=0, энтропия не изменяется.

3. Состояние равновесия определяется энтропией и др. сохраняющимися величинами и НЕ ЗАВИСИТ от путей перехода к равновесию.

Идея горячей Вселенной - в работах Алфера, Бете и Гамова (1948), рассмотревших состояние вещества, при котором tex2html_wrap_inline241 . Их идея состояла в получении через ядерные реакции наблюдаемый химический состав. Предсказали наличие реликтового микроволнового излучения с tex2html_wrap_inline243 K, оставшегося от эпохи, когда горячее вещество (плазма) было непрозрачно для излучения и вещество находилось в состоянии термодинамического равновесия с излучением.

В расширяющейся Вселенной температура падает как tex2html_wrap_inline245 , а плотность вещества tex2html_wrap_inline247 ===> отношение tex2html_wrap_inline249 в ходе расширения. Но это как раз и есть энтропия на 1 барион: tex2html_wrap_inline251 (a - постоянная излучения).

Рассмотрим состояние из нуклонов, фотонов, нейтрино, антинейтрино, электронов, позитронов ( tex2html_wrap_inline255 можно рассматривать как релят. частицы при tex2html_wrap_inline257 ), причем tex2html_wrap_inline259 . Тогда давление tex2html_wrap_inline163 , tex2html_wrap_inline263 , плотность энергии излучения tex2html_wrap_inline265 , а плотность энергии релятивистских частиц запишем как tex2html_wrap_inline267 , где tex2html_wrap_inline269 - число сортов частиц - >1. Отсюда tex2html_wrap_inline273 , или в числах

  equation91

Это основная формула тепловой истории ранней Вселенной. Можно обратить эту формулу: время до достижения температуры T после начала расширения

equation93

Последняя формула годится до tex2html_wrap_inline277 K (при более высоких температурах число сортов частиц точно неизвестно).

ПРИМЕР. Рассмотрим электроны и позитроны в момент t=1 c, когда температура равнялась (см (2)) tex2html_wrap_inline281 МэВ. Плотность частиц определим из условия tex2html_wrap_inline283 , где 4kT есть средняя энергия релятивистской частицы в термодинамическом равновесии с температурой T. Имеем: tex2html_wrap_inline289 частиц в куб. см, т.о. примем tex2html_wrap_inline291 . Сечение взаимодействия электронов и позитронов грубо есть tex2html_wrap_inline293 , где tex2html_wrap_inline295 см - комптоновская длина волны электрона, tex2html_wrap_inline297 . Скорость релятивистских частиц порядка скорости света, tex2html_wrap_inline299 , и характерное время взаимодействия

displaymath301

Это означает, что реакция tex2html_wrap_inline303 с большим запасом обеспечивает равновесие электронов, позитронов и фотонов в момент t=1 c. Вообще, равновесие процесса с сечением tex2html_wrap_inline307 при концентрации частиц n на фоне расширения с характерным временем tex2html_wrap_inline311 требует tex2html_wrap_inline313 . Когда в ходе расширения tex2html_wrap_inline315 , частицы становятся свободными, невзаимодействующими. Так, для нейтрино tex2html_wrap_inline317 c, и реликтовый нейтринный ``фон'' имеет в настоящее время температуру около 2 градусов.

§5.5. Первичный нуклеосинтез (первые три минуты)

При темпераутрах T>1 МэВ ядра существовать не могли, т.к. они эффективно разрушались при столкновениях с фотонами, электронами и позитронами. Имелись лишь протоны и нейтроны. По мере расширения Вселенной и снижения температуры ( tex2html_wrap_inline321 ) концентрация нейтронов снижалась в соответствии с распределением Больцмана в расновесном газе:

displaymath323

где разность масс покоя нейтрона и протона tex2html_wrap_inline325 МэВ. Равновесие поддерживалось реакциями слабого взаимодействия. Если бы термодинамическое расновесие поддерживалось по мере остывания и дальше, то очевидно, концентрация нейтронов экспоненциально стремилась бы к нулю, и ни о каком нуклеосинтезе не было бы и речи. Однако остывание приводит к нарушению равновесия при такой температуре ( tex2html_wrap_inline327 МэВ), что отношение концентраций протонов и нейтронов ``застывает'' (англ. ``freezing'') на значении 0.19. Нейтроны соединяются с протонами с образованием ядер дейтерия tex2html_wrap_inline329 , а энергии фотонов уже не хватает для разрушения образовавшихся ядер. Происходит накопление ядер и идут дальнейшие реакции:

displaymath331

displaymath333

displaymath335

Дальше реакции не идут, т.к. в природе нет устойчивых хим. элементов с атомным номером 5, а концентрация ядер He еще слишком низка, чтобы могли эффективно идти реакции tex2html_wrap_inline337 , tex2html_wrap_inline339 . Эпоха первичного нуклеосинтеза завершается к моменту tex2html_wrap_inline341 с.

Таким образом, хим. состав дозвездного вещества предсказывается: tex2html_wrap_inline343 , tex2html_wrap_inline345 , tex2html_wrap_inline347 , tex2html_wrap_inline349 , tex2html_wrap_inline351 . Эти цифры хорошо согласуются с новейшими определениями химсостава вещества на больших красных смещениях (см. Рис.)

figure77

Замечательно, что наблюдения первичного химсостава (особенно - первичного дейтерия по УФ-линии tex2html_wrap_inline353 A, т.к. он наиболее чувствителен к потности: чем больше плотность, тем быстрее дейтерий вступает в дальнейшие реакции и тем самым тем меньше его относительное содержание; в звездах дейтерий быстро превращается в более тяжелые элементы) налагают независимые ограничения на плотность барионного вещества во Вселенной:

equation95

(даже с учетом неопределенности в современном значении постоянной Хаббла). Наблюдения светящегося вещества в галактиках дает оценку tex2html_wrap_inline355 tex2html_wrap_inline357 Отсюда вывод: во Вселенной должно существовать невидимое барионное вещество, масса которого возможно в десятки раз превышает массу светящегося (т.е. испускающего свет) вещества. Из независимых соображений (рост возмущений, формирование крупномасштабной структуры Вселенной) делают вывод о необходимости пристуствия еще и небарионной скрытой массы (см. ниже, отдельный параграф).





Postnov K.A.
Thu Apr 3 17:19:12 MSD 1997